লগারিদম ফাংশনঃ log()

log() কী? log() একটা ফাংশন।

ফাংশন কী সেটা তো আমরা জানিই, কেউ যদি বিরিয়ানি খেতে চায় তাহলে একটা বিরিয়ানি ফাংশনের ভেতর চাল, তেল, মসলা, মাংস যা যা লাগে সব দিয়ে দিলেই ওই ফাংশন টা বিরিয়ানি  রিটার্ন করবে। তুমি তারে ঠিকঠাক মত মাল-মসলা দিবা আর সে তোমারে , তাকে যা দিতে বলা হয়েছে সবটাই দিবে।

তাহলে তোমার যেটা করতে হবে সেটা হলো লগ ফাংশনের ভেতর ইনপুট সংখ্যা গুলো দাও(যার লগ মান বের করবা, ধরি সেটা 8 ), আর লগের Base(ধরি সেটা 2 ) হিসেবে আরেকটা সংখ্যা দাও। তোমার কাজ শেষ। এবার লগ ফাংশন কি করবে তোমার হাতে 3 ধরায়ে দিবে! কাহিনী কি! কি ঘটল সেখানে? সেখানে এমন কিছু ঘটে নাই যেটা তুমি বুঝবা না! তুমি সহজেই বুঝে যাবে।

তাহলে আমরা এখানে log28  এর মান বের করছি।

log() আসলে এক্সপোনেন্ট(সুচকের) মান বের করে। মানে  Base সংখ্যাটার  power কত হলে আমরা মূল সংখ্যাটি(argument) পাবো সেটা বের করি।  এখানে 2³ = 8 সো, লগ ফাংশন আমাদের 3 রিটার্ন করবে।

এখন যদি আমরা log21/8  মান বের করতে চাই তাহলে কিভাবে করবো? এখানে আমরা এভাবে চিন্তা করবো, 2 এর  power কত হলে আমরা 1/8 পাবো? ব্যাপারটা সামান্য কমপ্লিকেটেড তো আমাদের চিন্তা করতে হবে। এটা কিন্তু আমরা সকলেই জানি  2-3  =  1/23  =  1/8 । আমরা পেয়ে গেলাম 2 এর power -3 হলেই আমরা 1/8 পাবো। সুতরাং log21/8= -3 

আর আমরা তখনই কোন সংখ্যার লগারিদম logbx = y নিয়ে ক্যালকুলেশন করতে পারবো যখন by = x এই এক্সপ্রেশনটি সত্য হবে। আমরা এখানে y এর মান বের করার জন্যই লগারিদমের ঊদ্ভব ঘটিয়েছি। কেমন ঘোলাটে লাগছে? পড়তে থাকো আর চিন্তা করতে থাকো, ক্লিয়ার হয়ে যাবে। 

এবার আসি লগের Base নিয়ে, Base সবসময় 1 থেকে বড় হতে হবে; এইটা লগারিদমের প্রোপার্টি। মানে লগারিদমের  base ১, ০ এবং নেগেটিভ হতে পারবেনা। এখন আমরা যদি বলি কেন হতে পারবেনা? এর উত্তর হলো, এগুলো লগের base হলে ঝামেলা, মহা ঝামেলা বাধায়ে দেয়। এরা লগের base হলে লগ ফাংশন ঠিকমত মান দিতে পারে না। বুঝা গেলো? আচ্ছা আসো আমরা উদাহরন দিয়ে বুঝানোর চেষ্টা করি।

এখন আমরা যদি log110 এর মান বের করতে চাই। তো এটা আসলে কী বের করবে 1 এর এমন কোন power যার ফলে আমরা 10 পেতে পারবো। আচ্ছা,  এমন কোন কী সংখ্যা আছে ? যেটা 1 এর power হলে 10 পাওয়া যাবে? উত্তর হইলঃ নাই। কিভাবে?

11 = 1, 110 = 1, 1100 = 1 । তার মানে 1 কে base ধরে লগকে অসহায়ত্বের হাত থেকে বাঁচানোর জন্য ম্যাথমেটিশিয়ানরা বলে দিলেন লগের Base ১ হতে পারবেনা। ঝামেলা ভাল লাগে না।

এখন আমরা একটু জটিল জিনিস নিয়ে আলোচনা করবো। লগারিদমের নেগেটিভ Base নিয়ে। এখন আমরা একটা Equation সমাধান করবো। log-2x = 1/2 এখানে -2  হলো Base, x হলো  Argument, 1/2 হলো Exponent। প্রথমেই আমরা ধরে নেই এটা একটা ভ্যালিড ইকুয়েজন। কারন এক্সপোনেন্ট পজিটিভ, Argument বের করবো। আর বেস নেগেটিভ হলে কী হবে সেটা পরে দেখতে পাবো।

এখন আমাদের Equation টা থেকে আমরা আরেকটা Valid equation(এটাকে আবার Anti logarithm বা Exponentiation ও বলে) পাবো। লগারিদম Equation টা থেকে আমরা কিভাবে X = -21/2 পাই এটা নিশ্চই এতক্ষনে বুঝে গেছ। তো আমরা কি পেলাম x = square root(-2) । আর তুমি তো জানোই কোন নেগেটিভ সংখ্যার Square root হয় না। আর তুমি যদি আরেকটু ম্যাথ জান, তবে বুজতে পারবে এখানে x একটা কমপ্লেক্স নাম্বার। সাধারনত, Logarithm এ Argument , Real Number হয়। আর Base negetive হলে যেহেতু Argument Complex হতে চায়, তো Argument কে বাস্তব রাখার জন্য ম্যাথমেটিশিয়ানরা বলে দিলেন Base সবসময় positive হতে হবে। এই আরকি কাহীনি! এখন না বুঝলে দু দিন পর আরেকবার ব্যাপারটা নিয়ে চিন্তা করো আমি শিওর, তুমি বুঝে যাবা।

আর লগারিদম এর Base কেন ০(zero) হতে পারবেনা, সেটা তুমি নিজে নিজেই বুঝে যাবে। ঠিক না?

এবার লগ এর কিছু properties দিয়ে পোস্ট টা শেষ করছি।

                                                                         properties of logarithm

এখানের কিছু প্রোপার্টিস তোমার মনে হতে পারে এটা সমান এটা কিভাবে হয়? এর জন্য তোমার কি করতে হবে, খাতা কলম নিয়ে কিছুক্ষন ভাবতে  হবে, তাহলে নিজেই দেখবে, হুম আসলেই হয়! এবং মজাও পাবা। log () সম্পর্কে আরো জানতে khan academy তো আছেই।

অনুভব করো গণিতের সৌন্দর্য।

Facebook Comments

Author: Neoman Nasir

I am Neoman Nasir. Studied Applied Mathematics at Noakhali Science and Technology University.

Leave a Reply