কিছু গুরুত্বপূর্ণ ম্যাট্রিক্স নিয়ে আলোচনা

তোমরা ইতিমধ্যেই জেনে গিয়েছ, যে ম্যাট্রিক্সের শুধু একটা সারি থাকে সেটা সারি ম্যাট্রিক্স আর যে ম্যাট্রিক্সের শুধু একটা কলাম থাকবে সেটা কলাম ম্যাট্রিক্স। এটা নিয়ে আর আলোচনায় যাচ্ছি না।

Square matrix(বর্গ ম্যাট্রিক্স): এই ম্যাট্রিক্সের সারি কলাম সমান থাকবে সবসময়। নাম অনুযায়ী কাম। নাম ই তো বর্গ ম্যাট্রিক্স ।আর তুমি তো জানই বর্গ হতে হলে বাহুদ্বয় সমান হতে হয় আর ম্যাট্রিক্সে বাহু আর কি, সারি আর কলাম ই তো।
                                                                                                    Square Matrix
Diagonal matrix(কর্ণ ম্যাট্রিক্স): প্রথমেই বলে দিচ্ছি কর্ণ ম্যাট্রিক্স হতে হলে একে অবশ্যই একটা বর্গ ম্যাট্রিক্স হতে হবে। তাহলে আর কী, যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের কর্ণের entry গুলো ছাড়া বাকি সব এলিমেন্ট জিরো সেটা কর্ণ ম্যাট্রিক্স। কর্ণ বলতে কি বুঝায় সে তো বুঝোই। আর না বুঝলে আমি নিচে হলুদ ব্লক দিয়ে দেখিয়ে দিচ্ছি ।
                                                                                                diagonal matrix.
Scalar matrix: যে কর্ণ ম্যাট্রিক্সের কর্ণের element গুলো সব সমান বা একই রকম তাকে তুমি দেখলেই স্কেলার ম্যাট্রিক্স বলে দিবে। মজা না?
                                                                                                   Scalar Matrix
Identity matrix : যে স্কেলার ম্যাট্রিক্সের কর্ণের এলেমেন্টগুলো 1 হবে তাকে Identity matrix বলা হয়।
                                                                                                      Identity Matrix
তুমি কিন্তু সাধারণ গুনের Identity জান সেটা 1 । কারণ কোন সংখ্যকে ১ দ্বারা গুন করলে আমরা ওই সংখ্যাটাই পাই। তেমনি ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে তুমি কোন ম্যাট্রিক্সকে Identity matrix দ্বারা গুন করলে ওই ম্যাট্রিক্সটাই পাবে। এইবার দেখো, ব্যাপারগুলো কি সুন্দর! একটা Identity matrix একটা scalar matrix এবং এটা একটা diagonal matrix এবং সর্বোপরি এগুলা একটা square matrix.

Transpose matrix: কোন একটা ম্যাট্রিক্সের সারি গুলোকে কলামে রূপান্তর করলে অথবা কলাম গুলোকে সারিতে রূপান্তর করলে তুমি যে ম্যাট্রিক্স পাবা সেটা ই তোমার মুল ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্স। নিচের উদাহরণ দেখলে ক্লিয়ার হবে।
                                                                       main matrix                      transpose matrix

আর যে ম্যাট্রিক্সের সবগুলো element ই জিরো দেখবা তাকে কোন চিন্তা না করেই বলে দিবা এটা জিরো ম্যাট্রিক্স বা NULL ম্যাট্রিক্স।
এবার আমরা একটু এডভান্স কিছু ম্যাট্রিক্স দেখবো, তোমার ইচ্ছে না হলে আজকে আর সামনে না আগালেও চলবে।

Symmetric matrix: কোন Square Matrix যদি এর ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্সের সমান হয়। তবে আমরা একে symmetric matrix বলি। নিচের উদাহরণটা দেখলেই ক্লিয়ার হবে।
তোমার হয়তো মনে হতে পারে ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্স কিভাবে মূল ম্যাট্রিক্সের সমান হবে! ব্যাপারটা নিয়ে খাতা কলম নিয়ে একটু চিন্তা করো, তুমি নিজেই symmetric matrix বানিয়ে ফেলতে পারবে।

Skew-Symmetric matrix: কোন একটা Square Matrix যদি এর ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্সের negative মানের সমান হয় তবে সেটা Skew- symmetric matrix. নিচে আমি একটা ম্যাট্রিক্স দিচ্ছি প্রথমে এটার ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্স বের করবে তারপর এই ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্সের প্রতিটা এলিমেন্টকে (-) দ্বারা গুন করবে।
                                             find out this transpose then multiply all elements of its transpose by -1
কী? ব্যাপারটা বুজলে তো!

আমরা এতক্ষণ যতগুলো ম্যাট্রিক্স দেখেছি সবগুলোতে আমরা Real number ব্যবহার করেছি। Real number ছাড়াও আমরা আরো কিছু নাম্বার সম্পর্কে জানি। তার মধ্যে একধরনের নাম্বার আছে যাকে আমরা কমপ্লেক্স নাম্বার বলি। আমি এখন এ সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করবো না। পরে হয়তো নাম্বার সিরিজ টিওটোরিয়ালে আলোচনা করতে পারি। তোমার জানা না থাকলে গুগুল করে জেনে নিতে পারো। Complex number দেখতে এরকম a+ib, a-ib, 2 + 3i, 2 – 3i. এগুলা Conjugate আকারে থাকে। a+ib এর conjugate a-ib এভাবে a-ib এর conjugate a+ib। এখানে i হলো imaginary number যেখানে i^2 = -1.

Hermitan matrix : এ ধরনের ম্যাট্রিক্সে কমপ্লেক্স নাম্বার থাকে। এখন যেসব জায়গায় তুমি Complex number পাবে সেসব জায়গায় তার কনজুগেট বসিয়ে দিয়ে তার ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্সটা যদি মূল ম্যাট্রিক্সের সমান হয় তবে তুমি সেটাকে Hermitian matrix বলে দিতে পার। এটা ও একটা Square Matrix । নিচের উদাহরণে আমরা প্রথমে Complex number গুলোতে তাদের Conjugate বসিয়ে দিয়েছি তারপর ম্যাট্রিক্সটাকে transpose matrix এ রূপান্তর করি।
                                                                                            Hermitian Matrix
Skew-Hermitian matrix: এখানে প্রথমে তুমি উপরের Hermetian matrix এর মতো Conjugate বসাবে তারপর Transpose matrix বানাবে। এবার এই ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্সের প্রত্যেক element কে -1 দ্বারা গুন করার পর যে ম্যাট্রিক্স পাবে সেটা যদি মূল ম্যাট্রিক্সের সমান হয় তবে আমরা একে Skew – Hermitian matrix বলতে পারি। এটাও একটা Square Matrix । এবার একটু খাতা লিখে বের করো তো নিচের দেয়া ম্যাট্রিক্সটা Skew-Hermitian matrix কি না?
                                                                                         Skew-Hermitian matrix
আজকে এ পর্যন্তই ………

 

Facebook Comments

Author: Neoman Nasir

I am Neoman Nasir. Studied Applied Mathematics at Noakhali Science and Technology University.

Leave a Reply