অসঙ্গায়িত এবং অনির্নেয় মানে কী? কে অসঙ্গায়িত, কে অনির্নেয়?

গনিতে অসঙ্গায়িত(Undefined) আর অনির্নেয়(Indeterminate) form বলতে কি বুঝায় সেটা বুজতে হলে আমাদের সবার আগে ক্লিয়ার হতে হবে গনিতে গুন, ভাগ বলতে কী বুঝায়? আর Limit সম্পর্কে ধারনা থাকলে আমরা অসঙ্গায়িত এবং অনির্নেয় এর মধ্যকার সূক্ষ্ম পার্থক্যটা ভাল ভাবে বুঝা যাবে। এগুলো বুঝতে আমার আগের এই লেখাটা  আর চমক হাসান ভাইয়ের এই ভিডিওটা দেখে নেয়া যেতে পারে।

আচ্ছা যেকোন ভাগ যেমন ১০/২ = ? বলতে বুঝায় ২ এর সাথে ঠিক কত গুন করলে ১০ পাওয়া যাবে। ২*৫ = ১০ so, ১০/২ = ৫। এই ভাগফল সবসময় একটা ইউনিক সংখ্যা হবে।

এখন আমরা জানবো অসঙ্গায়িত বলতে কি বুঝায়,
কোণ কিছুকে তখনই অসঙ্গায়িত বলা হবে, যদি সেটাকে গনিতের মৌলিক স্বীকার্য দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা না যায়
এই লাইনটা আমাকে অসঙ্গায়িত বুঝার জন্য অনেক সাহায্য করেছিল। এই লাইনটা পেয়েছি গণিত অলিম্পিয়াডের ফোরাম সাইটে তারিক আদনান মুন ভাইয়ের একটা রিপ্লাইতে।

আমরা উদাহরণ দিয়ে বুঝার চেষ্টা করবো। উদাহরণ হিসেবে আমরা নিবো আমাদের অতি পরিচিত একটা এক্সপ্রেশন ১/০ । ১/০ = অসঙ্গায়িত। কেন অসঙ্গায়িত?
আমরা দেখি আমরা আসলে এখানে কি করতে চাচ্ছি? আমরা ১ বা যেকোন সংখ্যা কে ০ দ্বারা ভাগ করতে চাচ্ছি। ওকে এখন ম্যাথমেটিক্সে ভাগ বলতে কী বুঝায় সেটা আবার একটু দেখে নিতে পারো।
তো ১/০ = ? মানে ব্যাপারটা কি বোঝাচ্ছে? ০ এর সাথে কত গুন করলে ১ পাওয়া যাবে? কি অদ্ভুত! ম্যাথমেটিক্সের মৌলিক স্বীকার্য থেকে বা গুনের সংজ্ঞা থেকে আমরা পাই যে, শূন্য(০) এর সাথে যেকোণ সংখ্যা গুন করলে একমাত্র শুন্য(০) ছাড়া আর কিছু পাওয়া যায় না।

তো, ০ এর সাথে কত গুন করলে ১ পাওয়া যাবে? এমন কোন সংখ্যা নেই যার সাথে শূন্য গুন করলে ১ পাওয়া যাবে।
তাহলে, ১/০ = কত? ১/০ কত সেটা আমরা জানি না, ১/০ কে গনিতের মৌলিক স্বীকার্য দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যায় না। তাই ১ বা যেকোন সংখ্যা কে শুন্য(০) দ্বারা ভাগ করা যায় না।
১/০ = অসঙ্গায়িত।

এখন আসি অনির্নেয় বলতে কী বুঝায় সেটা নিয়ে,
এখানে ও আমরা উদাহরণ হিসেবে নিবো আমাদের অতি পরিচিত একটা অনির্নেয় আকার ০/০
এখানে আমরা কি করতে চাচ্ছি? শূন্য(০) কে শূন্য(০) দিয়ে ভাগ করতে চাচ্ছি।
আচ্ছা ভাগের ডেফিনেশন অনুযায়ী আমরা সামনে আগাই। ০/০ = ? মানে, লব ০ এর সাথে কত গুন করলে হর ০ পাওয়া যাবে?
তো কি পাওয়া যায়? ০*১ = ০, ০*২ = ০, ০*১০০০ = ০। মানে শুন্য(০) এর সাথে আমরা যা ই গুন দেই না কেন ফলাফল শূন্য(০) পাওয়া যাবে। সো, আমরা দেখছি ০/০ এর মান যেকোন কিছুই হতে পারে ১, ২, … ইনফিনিটি । কিন্তু ভাগের ডেফিনিশনে আমরা কি দেখেছি? ভাগফল হবে সবসময় একটা ইউনিক নাম্বার।
এই যে ০/০ এর মান যে কোন কিছু হতে পারে। এই ব্যাপারটাও গনিতের মৌলিক স্বীকার্য দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যায় না। সো ০/০ একটা অসঙ্গায়িত আকার।
কী ভাবছ, অনির্নেয় বলতে এসে অসঙ্গায়িত ই বলে যাচ্ছি! দাড়াও… খেলা এখনো বাকি!

আমরা যদি সাধারণ ভাবে বুজতে চাই, তবে দেখো ১/০ আর ০/০ দুইয়ের ক্ষেত্রে পার্থক্য কি হলো?
১/০ এর ক্ষেত্রে আমরা কোন ফলাফল ই পাই নি। ০/০ এর ক্ষেতে আমরা পেয়েছি অসংখ্য ফলাফল; কিন্তু exactly সঠিক ফলাফল বা ভাগফল টা নির্নয় করতে পারিনি। এরকম ব্যাপার যখন ঘটবে তখন আমরা আকারটাকে বলবো অনির্নেয় আকার।
তো কি পেলাম, ০/০ একটা অসঙ্গায়িত এবং অনির্নেয় আকার। এরকম ৭ টা  অনির্ণেয় আকার রয়েছে, সেগুলো নিয়ে ঘাঁটাঘাঁটি করতে পারো এবার।
এবার চমক হাসান ভাইয়ের একটা লেখা থেকে একটা লাইন দেয়া যেতে পারে।
সকল অনির্নেয় আকারই অসঙ্গায়িত কিন্তু সকল অসঙ্গায়িত আকার অনির্নেয় নয়।

আমরা অসঙ্গায়িত আর অনির্নেয় এর মধ্যকার যে সূক্ষ্ম পার্থক্য সেটা উপরের আলোচনা থেকেই বুঝা যাবে আশা করি। এখন আমরা ব্যাপারটাকে একটু অন্য ভাবে দেখবো, লিমিট দিয়ে।
mathwords.com এর Indeterminate form এর সংজ্ঞা টা ভাল লেগেছে।
সেটা হলো, Indeterminate form is an undefined expression which can have a value if arrived as a limit. মানে অনির্নেয় আকার হলো এমন একটা অসঙ্গায়িত আকার যার লিমিট নেয়া হলে আমরা একটা ইউনিক মান পাবো।

তোমার যদি লিমিট নিয়ে ধারনা থাকে তবে তুমি বুজতে পারবে, কোন একটা ফাংশনে লিমিট নেয়া হলে আমরা একটা ইউনিক মান পাবো যদি ফাংশনটি লিমিট এক্সিস্ট করে। এখন ফাংশনে লিমিট এক্সিস্ট করা বলতে কি বুঝায়? যদি ফাংশনে x এর কোন একটা লিমিটিং ভ্যালুর জন্য LHL = RHL হয়, তবে আমরা বলতে পারবো x এর ওই লিমিটিং ভ্যালুর জন্য ফাংশনটিতে লিমিট এক্সিস্ট করে। ও আচ্ছা +infinity, -infinity কোন ইউনিক ভ্যালু নয়, এগুলো just sign or sense of large number. সো, লিমিট ইনফিনিটি আসা মানে ফাংশনটি লিমিট এক্সিস্ট করে না।

তো আমরা আগের উদাহরণ গুলো এবার লিমিট দিয়ে দেখি,
lim(x~0) x/x = 1
lim(x~0) 1/x = (+-) infinity

তুমি নিজে খাতা কলম নিয়ে ব্যাপারটা ক্যালকুলেশন করলে ভালভাবে বুজতে পারবে।
তো আমরা এখানে লিমিটের মাধ্যমে অনির্নেয় এবং অসঙ্গায়িত আকারের মধ্যে সূক্ষ্ম পার্থক্য দেখতে পেলাম, অনির্নেয় আকারে লিমিট নেয়া হলে লিমিট এক্সিস্ট করে আর শুধুমাত্র অসঙ্গায়িত আকারে লিমিট নেয়া হলে লিমিট এক্সিট করে না।

গনিতের আনন্দে মন ভাল হয়ে উঠুক আমাদের সবার। 🙂  

Facebook Comments

Author: Neoman Nasir

I am Neoman Nasir. Studied Applied Mathematics at Noakhali Science and Technology University.

Leave a Reply